管制をする際、チャート類は紙で持っていたほうがいいでしょうか？

また、皆さんはどうしているのか、おすすめの方法を教えていただけるとと嬉しいです。

「最新のチャートを常に見ることができれば」紙でもPC画面でもどちらでもいいと思います。

私の場合は、印刷してしまうと更新される度に差し換える手間が発生してしまうのと、いつの間にか更新されていてパイロットが見ているのと違う古いチャートを見ていた、という事態を避けるために常にAIS-Japanのものを開いて、サブディスプレイに表示して管制しています。
VATJPNのダウンロードにある『Chart manager』というAIS Japan専用のビューアーが便利です。

また、Navigraphの「ultimate」プランに登録すると、PCやスマホ、タブレットで世界中のチャートが参照できるアプリを使う事ができます。

一方で、たとえばノートPCなどの一枚画面で管制していてチャートを表示する余裕がない場合は印刷して手元において参照するのもよいでしょう。その際は先に挙げたデメリットに注意していただければと思います。

ダウンロードコーナーにある「Chart manager」が動作しないとの情報がありました。
1.2バージョンをアップロードしましたのでお試しください。

私も動作せず試行錯誤していたところでした。
ありがとうございます。